题目内容
（2012•安徽模拟）已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，点B1在平面ABC上的射影O为AB的中点．（1）求证：B1C⊥平面ABC1；
（2）求二面角C-AB1-B的余弦值．
分析：（1）根据题意，B1O⊥平面ABC，BO=AO=1，B1O=
且OC⊥AB．分别以OC，OA，OB1为x轴、y轴和z轴，建立如图空间直角坐标系，得出A、B、C1、B1各点的坐标，从而得到向量
和
的坐标，通过计算数量积得B1C⊥AC1，再结合菱形BB1C1C中B1C⊥C1B，可得B1C⊥平面ABC1；
（2）由面面垂直的判定与性质，可得OC⊥侧面AA1B1B，得平面AA1B1B的一个法向量为
=（
，0，0），再利用数量积为0的方法建立方程组，解出平面AB1C的一个法向量
=（1，
，1），从而算出向量
，
夹角的余弦之值，最终得到二面角C-AB1-B的余弦值．
| 3 |
| CB1 |
| AC1 |
（2）由面面垂直的判定与性质，可得OC⊥侧面AA1B1B，得平面AA1B1B的一个法向量为
| OC |
| 3 |
| n |
| 3 |
| OC |
| n |
解答：解：（1）∵点B1在平面ABC上的射影O为AB的中点，斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，
∴B1O⊥平面ABC，BO=AO=1，B1O=
，OC⊥AB
故分别以OC，OA，OB1为x轴、y轴和z轴，建立如图空间直角坐标系，得A（0，1，0），B（0，-1，0），C1（
，1，
），B1（0，0，
），
∴
=（-
，0，
），
=（
，0，
）
可得
•
=-
×
+0×0+
×
=0
∴
⊥
，即B1C⊥AC1，
∵菱形BB1C1C中，对角线B1C⊥C1B，AC1∩C1B=C1
∴B1C⊥平面ABC1；
（II）∵B1O⊥平面ABC，B1O?侧面AA1B1B，∴侧面AA1B1B⊥平面ABC，
∵△ABC中，中线OC⊥AB，侧面AA1B1B∩平面ABC=AB，
∴OC⊥侧面AA1B1B，可得平面AA1B1B的一个法向量为
=（
，0，0），
设
=（x，y，z）是平面AB1C的一个法向量，得
，
取x=z=1，得y=
，所以
=（1，
，1）
∴cos＜
，
＞=
=
=
，
再结合图形，可得二面角C-AB1-B的余弦值等于
．
∴B1O⊥平面ABC，BO=AO=1，B1O=
| 3 |
故分别以OC，OA，OB1为x轴、y轴和z轴，建立如图空间直角坐标系，得A（0，1，0），B（0，-1，0），C1（
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴
| CB1 |
| 3 |
| 3 |
| AC1 |
| 3 |
| 3 |
可得
| CB1 |
| AC1 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴
| CB1 |
| AC1 |
∵菱形BB1C1C中，对角线B1C⊥C1B，AC1∩C1B=C1
∴B1C⊥平面ABC1；
（II）∵B1O⊥平面ABC，B1O?侧面AA1B1B，∴侧面AA1B1B⊥平面ABC，
∵△ABC中，中线OC⊥AB，侧面AA1B1B∩平面ABC=AB，
∴OC⊥侧面AA1B1B，可得平面AA1B1B的一个法向量为
| OC |
| 3 |
设
| n |
|
取x=z=1，得y=
| 3 |
| n |
| 3 |
∴cos＜
| OC |
| n |
| ||||
|
|
| ||||
|
| ||
| 5 |
再结合图形，可得二面角C-AB1-B的余弦值等于
| ||
| 5 |
点评：本题在所有棱长都为2的斜三棱柱中，求证线面垂直并求二面角的余弦值，着重考查了直线与平面垂直的判定和用空间向量求平面间的夹角等知识，属于中档題．
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