题目内容

求证:(1)若射影定理成立,则勾股定理成立;

(2)若勾股定理成立,则射影定理成立.

图1-5-16

证明:如图,Rt△ABC中,CD为斜边上的高.

(1)由射影定理AC²=AD·AB,BC²=BD·AB,

∴AC²+BC²=AD·AB+BD·AB

=(AD+BD)·AB

=AB²,

即勾股定理成立.

(2)∵AB=AD+BD,

∴AB²=(AD+BD)²=AD²+BD²+2AD·BD.

∴AB²-AD²-BD²=2AD·BD.

∴AC²+BC²-AD²-BD²=2AD·BD.

∴(AC²-AD²)+(BC²-BD²)=2AD·BD.

∴CD²+CD²=2AD·BD.

∴CD²=AD·BD.①

∵AC²=CD²+AD²

=AD·BD+AD²

=AD(BD+AD)

=AD·AB,②

同理,BC²=BD·AB.③

由①②③说明若勾股定理成立,则射影定理成立.

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（Ⅰ）求抛物线C₁和椭圆C₂的标准方程；
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