题目内容

已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆上关于原点O对称的两点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值，试写出双曲线具有类似特性的性质并加以证明．
【答案】分析：设出M和N的坐标，代入双曲线的方程，设点P的坐标，进而表示出PM，PN的斜率，求得两斜率之积．把点P的坐标代入双曲线方程表示出y和n，代入PM，PN斜率之积得表达式求得结果为常数，故可推断出kPM•kPN与点P的位置无关的定值．
解答：解：可以通过横向类比得：若M，N是上述双曲线上关于原点O对称的两点，
点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，
那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
下面给出严格的证明：
设点M（m，n），则N（-m，-n），其中，又设点P的坐标
为P（x，y），则，，
注意到，点P（x，y）在双曲线上，
故，
代入可得：（常数），
即kPM•kPN与点P的位置无关的定值
点评：本题主要考查了椭圆的应用，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
练习册系列答案
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已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线C′：
x2
a2
-
y2
b2
=1写出具有类似特性的性质，并加以证明．
（2010•南宁二模）设F1、F2分别为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
（Ⅰ）若椭圆C上的点A（1，
3
2
）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点，Q（0，
1
2
），求|PQ|的最大值；
（Ⅲ）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P在椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值．设对双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1写出具有类似特性的性质（不必给出证明）．
已知椭圆具有性质：若A是椭圆C的一条与x轴不垂直的弦的中点，那么该弦的斜率等于点A的横、纵坐标的比值与某一常数的积．试对双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1写出具有类似特性的性质，并加以证明．
已知椭圆具有性质：若A，B是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0且a，b为常数）上关于原点对称的两点，点P是椭圆上的任意一点，若直线PA和PB的斜率都存在，并分别记为kPA，kPB，那么kPA与kPB之积是与点P位置无关的定值-
b2
a2
．试对双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0且a，b为常数）写出类似的性质，并加以证明．
已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，P是椭圆上任意一点，则当直线PM，PN的斜率都存在时，其乘积恒为定值．类比椭圆，写出双曲线C′：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的类似性质，并加以证明．

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