题目内容

在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知∠BAD=∠A₁AB=∠A₁AD=60°，AD=4，AB=3，AA₁=5， $数学公式$ =________．

$\text{[math]}$
分析：先由空间向量的基本定理，将向量 $\text{[math]}$ 用一组基底 $\text{[math]}$ 表示，再利用向量数量积的性质 $\text{[math]}$ ，计算 $\text{[math]}$ 即可
解答：∵六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁是平行六面体，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$
又∵∠BAD=∠A₁AB=∠A₁AD=60°，AD=4，AB=3，AA₁=5，
∴ $\text{[math]}$ =16+9+25+2×5×4×cos60°+2×5×3×cos60°+2×3×4×cos60°=97
∴ $\text{[math]}$
故答案为 $\text{[math]}$
点评：本题考察了空间向量的基本定理，向量数量积运算的意义即运算性质，解题时要特别注意空间向量与平面向量的异同