Question

已知在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=AA₁=1，且∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，求AC₁的长．

Answer 1

分析：根据∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，过A₁作A₁O⊥平面AC，O为垂足，则O在∠BAD的角平分线，即AC上，从而在三角形A₁B₁C₁中，可求AC₁的长．

解答：解：过A₁作A₁O⊥平面AC，O为垂足．…．（1分）
∵∠BAA₁=∠DA A₁，AB=AD，ABCD为菱形
∴O在∠BAD的角平分线，即AC上…（3分）
∵cos∠BAA₁=cos∠BAC•cos∠OAA₁∴cos∠OAA₁=

1

2

×

2

3

=

3

3

…（5分）
连A₁C₁则AA₁C₁C为平行四边形，∴cos∠AA₁C₁=-

3

3

…..（6分）
在三角形A₁B₁C₁中，A₁C₁²=A₁B₁²+C₁B₁²-2A₁B₁•C₁B₁cos∠A₁B₁C₁=3…（8分）
∴AC₁=

A A 2 1 +A1 C 2 1 -2AA1•C1A1cos∠AA1C1

=

1+3-2•1• 3 •(- 3 3 )

=

6

…（10分）

点评：本题以平行六面体为载体，考查余弦定理，关键是利用条件∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，进行合理转化．