Question

（本小题满分14分）已知函数.
（1）若a>0,试判断在定义域内的单调性;
（2）若在上的最小值为,求a的值;
（3）若在上恒成立,求a的取值范围

 

Answer 1

（1）在上是单调递增函数；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由题意知的定义域为,求导数知, 在上是单调递增函数；

（2）讨论①；②；③等几种情况，通过研究函数的单调性、确定最小值，建立方程求解.

（3）由已知得到，
令.
通过讨论函数的单调性明确 得解.

试题解析：（1）由题意知的定义域为,且,

∴, 故在上是单调递增函数 4分

（2）由（1）可知, .
①若,则,即在上恒成立, 此时在上为增函数,
∴ (舍去) 6分

②若,则,即在上恒成立, 此时在上为减函数,
∴ (舍去) 8分

③若令得
当时, ∴在上为减函数;
当时, ,∴在上为增函数,
∴.综上所述, 10分

（3）∵.又，
令.
∵时, 在上是减函数.
∴,即在上也是减函数.
,∴当时, 在上恒成立 14分

考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值、最值；2.转化与化归思想.