Question

对于函数f（x）及其定义域内的一个区间[m，n]（m＜n），若f（x）在[m，n]内的值域为[m，n]，则称[m，n]为f（x）的保值区间．函数f（x）=ax²-2x的保值区间能否是[-1，2]？若能，求出a的一个值；若不能，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：通过对a=0、a＞0、a＜0的讨论，利用二次函数的单调性质，可知不存在a使得函数f（x）=ax²-2x的“保值区间”是[-1，2]；

解答： 由于f（x）=ax²-2x，
当a=0时，f（x）=-2x，假设其“保值区间”是[-1，2]，
由f（x）=-2x为减函数得：

f(-1)=2 f(2)=-4≠-1

，
故a=0时不成立；
当a＞0时，f（x）=ax²-2x的对称轴为x=

1

a

＞0，
若

1

a

≥2，y=f（x）在[-1，2]为减函数，

f(-1)=a+2=2 f(2)=4a-4=-1

，解得a∈∅；
若

1

a

∈（0，2]，则f（

1

a

）=-1，且（f（-1），f（2））_max=2，解得：a=1，但f（-1）=3，f（2）=0，不满足题意；
由上面的分析可知，a＞0时，与题意不符；
当a＜0时，f（x）=ax²-2x的对称轴为x=

1

a

＜0，
若

1

a

≤-1，y=f（x）在[-1，2]为减函数，同理可得，a∈∅；
若

1

a

∈[-1，0]，则f（

1

a

）=2，解得：a=-

1

2

，f（x）=-

1

2

x²-2x，又f（-1）=

3

2

，f（2）=-6，不满足题意；
故a＜0时，也不符合题意；
综上所述，不存在a使得函数f（x）=ax²-2x的“保值区间”是[-1，2]．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查函数的单调性与闭区间上的最值，理解新定义“保值区间”解决问题的是关键，考查逻辑思维、创新思维、运算能力，属于难题．