Question

如图所示，已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的面对角线A₁B⊥B₁C，求证B₁C⊥C₁A.

Answer 1

　如图所示，连结A₁C，交AC₁于点D，则点D是A₁C的中点．

取BC的中点N，连结AN、DN，

则DN∥A₁B.

又A₁B⊥B₁C，∴B₁C⊥DN.

又△ABC是正三角形，

∴AN⊥BC.

又平面ABC⊥平面BB₁C₁C，平面ABCD∩平面BB₁C₁C＝BC，AN⊂平面ABC，

∴AN⊥平面BB₁C₁C.又B₁C⊂平面BB₁C₁C，

∴B₁C⊥AN.

又AN⊂平面AND，DN⊂平面AND，AN∩DN＝N，

∴B₁C⊥平面AND.

又C₁A⊂平面AND，∴B₁C⊥AC₁.