Question

如图所示，已知正三棱柱的各条棱长都为，P为上的点。

（1）试确定的值，使PCAB；

（2）若，求二面角的大小；

（3）在（2）的条件下，求到平面PAC的距离。

Answer 1

解：（1）当时，。取AB的中点O，连接CO、PO。

∵△ABC为正三角形， ∴。

当P为中点时，PO∥。∴⊥底面ABC ，PO⊥底面ABC，

PO⊥AB（三垂线定理）。

（2）当时，过P作PD⊥AB于D,则

 PD⊥底面ABC，过DE⊥AC于E，连接PE，

则PE⊥AC，∴∠DEP为二面角P―AC―B的平面角，

又∵PD∥，∴，，

又∵，∴，

∴。

（3）设到平面PAC的距离为d，则，

∵PD∥，∴PD∥平面，DE即为点P到面的距离，

又。

∴，

从而，

∴，

即到平面PAC的距离为。