Question

【题目】已知函数，.

（1）若函数是上的增函数求的取值范围；

（2）若函数恰有两个不等的极值点、，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）问题转化为对恒成立.求导后分离参数得到，设，利用导数研究单调性，求得最小值，根据不等式恒成立的意义得到所求范围；

（2）由，为两个极值点不妨设，联立极值点的条件，并结合要证不等式，消去a,将要证不等式转化为只含有，的不等式，适当变形转化为只含有的不等式，作换元，转化为关于t的不等式，构造函数，利用导数研究单调性，进而证明即可.

解：（1），在上增函数等价于对恒成立.

即，设，，

		0
	－	0	+
		极小值

，故

（2）由

，由，为两个极值点不妨设

则两式相减得

要证明：等价于证明

即两边同除

等价于证明：，设

即，

设

由（1）可知：当时，恒成立，成立，

即，∴

∴在单调递减

∴

故成立.