Question

过点P（1，0）作曲线C：y=x³（x∈（0，+∞））的切线，切点为Q₁，过Q₁作x轴的垂线交x轴于点P₁，又过P₁作曲线C的切线，切点为Q₂，过Q₂作x轴的垂线交x轴于点P₂，…，依次下去得到一系列点Q₁，Q₂，Q₃，…，设点Q_n的横坐标为a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）①求和；
②求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）求导函数，若切点是，则切线方程为，根据当n=1时，切线过点P（1，0），即，从而可得，当n＞1时，切线过点P_n-1（a_n-1，0），即，从而可得，进而可知数列{a_n}是首项为，公比为的等比数列，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）①根据，利用错误相减法即可求S；
②证法1：利用二项式定理进行证明；证法2：用数学归纳法
解答：（1）解：∵y=x³，∴y'=3x²，
若切点是，则切线方程为，…（1分）
当n=1时，切线过点P（1，0），即，因为a₁＞0，所以，…（2分）
当n＞1时，切线过点P_n-1（a_n-1，0），即，
依题意a_n＞0，所以，
所以数列{a_n}是首项为，公比为的等比数列，所以；  …（4分）
（2）①解：记，因为，
所以，…（5分）
两式相减，得===，…（7分）
∴==；     …（9分）
②证法1：=．                             …（13分）
证法2：当n=2时，，…（10分）
假设n=k时，结论成立，即，
则，
即n=k+1时，，…（12分）
综上，对n≥2，n∈N^*都成立．                   …（13分）
点评：本题考查导数的几何意义，考查数列的求和与不等式的证明，解题的关键是确定数列的通项，根据通项的特点利用错位相减法．