Question

（2009•锦州一模）过点P（1，0）作曲线C：y=x²（x＞0）的切线，切点为Q₁，没Q₁在x轴上的投影是P₁，又过P₁，作曲线C的切线，切点为Q₂，设Q₂在x轴上的投影是P₂…，依次下去，得到一系列点Q₁Q₂，…Q_n，设Q_n的横坐标为a_n．
（I）求a₁的值及{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=

an	(an-1)(an+1-1)

，设数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（I）求出函数的导数，利用斜率相等，求出a₁，然后通过求解函数的导数与切线的斜率，判断数列{a_n}是等比数列，只需证明数列{a_n}的后一项比前一项是常数即可，可先对y=x²求导数，y=x²在切点处的导数，就是在该点处的切线的斜率，求出切线方程，就可找到切点在x轴上的投影的横坐标，再求相邻横坐标之商，看是否为常数，就可证出数列{a_n}是等比数列，再根据等比数列的通项公式求数列{a_n}的通项公式即可．
（II）根据（I）中所求数列{a_n}的通项公式求出数列{b_n}的通项公式，再用裂项相消法求前n项和T_n

解答：解：（I）依题意，得P_n（a_n，0）、Q_n（a_n，a_n²），y′=2x，a_n＞0
∴过点Q_n （a_n，a_n²）的切线方程为y-a_n²=2a_n（x-a_n）．（2分）
当n=1时，切线过P（1，0）得a₁=2（3分）
当n≥2时，切线y-a_n²=2a_n（x-a_n）过P_n-1（a_n-1，0）得
0-a_n²=2a_n（a_n-1-a_n），即a_n=2a_n-1
∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，公比q=2的等比数列
故a_n=2ⁿ（6分）
（II）b_n=

an

(an-1)(an+1-1)

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

（8分）
∴T_n=（1-

1

22-1

）+（

1

22-1

-

1

23-1

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）
=1-

1

2n+1-1

（12分）

点评：本题考查数列与函数的综合应用，函数的导数与直线的切线的关系，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．