Question

4．如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC切半圆O于点D，BC⊥AC于点C，DF⊥EB于点F，若AC=8，BC=6，则DF=（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． $\frac{15}{4}$
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 求出AB=10．设圆的半径为r，AD=x，连接OD，推导出x=$\frac{4}{3}$r．由切割线定理AD²=AE•AB，求出r=$\frac{15}{4}$，AD=5，再由$\frac{1}{2}$AD•OD=$\frac{1}{2}$DF•AO，能求出DF．

解答 解：在Rt△ABC中，∵AC⊥BC，∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10．
设圆的半径为r，AD=x，连接OD，
∵AC切半圆O于点D，∴OD⊥AC．
∴OD∥BC．
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{OD}{BC}$，即$\frac{x}{8}$=$\frac{r}{6}$，化为x=$\frac{4}{3}$r．
又由切割线定理AD²=AE•AB，即$\frac{16}{9}$r²=（10-2r）×10，
解得r=$\frac{15}{4}$．∴AD=$\frac{4}{3}×\frac{15}{4}$=5，
在Rt△ADO中，AO=$\sqrt{A{D}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+（\frac{15}{4}）^{2}}$=$\frac{25}{4}$．
∵$\frac{1}{2}$AD•OD=$\frac{1}{2}$DF•AO，
∴DF=$\frac{AD•OD}{AO}$=$\frac{5×\frac{15}{4}}{\frac{25}{4}}$=3．
故选：A．

点评 本题考查与圆有关的线段长的求法，考查直线、圆、切割线定理、相交线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．