Question

已知数列{an}满足a1＝2，对于任意的n∈N，都有an＞0，且(n＋1)a＋anan＋1－na＝0，又知数列{bn}:b1＝2n－1＋1
(1)求数列{an}的通项an以及它的前n项和Sn；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn；
(3)猜想Sn和Tn的大小关系，并说明理由.

Answer 1

（1）见解析（2）（3）见解析

（Ⅰ）∵
∴。
∴
∴，∴。                                                             
即。
∴
。
∴，
∴又，∴。                                                                        
∴
。                                                          
（Ⅱ）∵，
∴

。                                                                                
（Ⅲ）
当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴。                          
猜想：当时，。                                                             
即。亦即。
下面用数学归纳法证明：
当时，前面已验证成立；                                          
假设时，成立，那么当时，

。
∴当时，也成立。                    
由以上、可知，当时，有；当时，；
当时，。