Question

【题目】对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是．则称是该函数的“和谐区间”．

（1）证明：是函数=的一个“和谐区间”．

（2）求证：函数不存在“和谐区间”．

（3）已知：函数（R，）有“和谐区间” ，当变化时，求出的最大值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用和谐区间的定义推证；(2)借助题设运用和谐区间的定义推证；(3)运用和谐区间的定义将其转化为二次方程有根的问题探求.

试题解析：

（1）因在区间上单调递增． 又因为，所以值域为，

所以区间是的一个“和谐区间”．

（2）设是已知函数定义域的子集．因，或，

故函数在上单调递增． 若是已知函数的“和谐区间”，则

故是方程的同号的相异实数根．

因无实数根， 故函数不存在“和谐区间”．

（3）设是已知函数定义域的子集．因，或，

故函数在上单调递增．

若是已知函数的“和谐区间”，则

故是方程，即的同号的相异实数根．

∵，∴同号，只须,并解得不等式的解集为或，

已知函数有“和谐区间” ， ∵，

∴当时，取最大值