Question

【题目】已知函数，其中．

（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求在（1，h（1））处的切线方程；

（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由是极值点，可知，从而可得值，再求出，得，此为切线斜率，切线方程为，化简即可；（2）对本小题命题，可求出的最小值和的最大值，命题可转化为，然后可求得的范围，最大值由导数的性质易求，由于中含有参数，求其最小值时要分类讨论．

试题解析：（1）解：∵, ∵x=2是函数f（x）的极值点，

∴， 即．又a≥1, ∴a=2

∴, ∴,

∴, 又h（1）=6

∴所求的切线方程是 y-1=-（x-6）,即 y=-x+7.

（2）解：对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥

当［1，］时，．

∴函数在上是增函数．

∴．

∵，且，．

① 当1≤≤时，

若1≤＜，则，

若＜≤，则．

∴函数在上是减函数，在上是增函数．

∴.

由≥，得≥， 又1≤≤，∴≤≤．

②.当且［1，］时，，

∴函数在上是减函数．

∴.由≥，得≥，

又，∴．

综上所述，的取值范围为