Question

（2011•西城区二模）已知函数f(x)=

2 sin(x+ π 4 )- 1 3

sinx

．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若f（x）=2，求sin2x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，sinx≠0，所以，x≠kπ（k∈Z），从而得到结果．
（Ⅱ）由f（x）=2，利用两角和的正弦公式化简可得cosx-sinx=

1

3

，平方化简可得sin2x的值．

解答：解：（Ⅰ）由题意，sinx≠0，…（2分）
所以，x≠kπ（k∈Z）．…（3分）
函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．…（4分）
（Ⅱ）因为f（x）=2，所以

2

sin(x+

π

4

)-

1

3

=2sinx，…（5分）

2

(

2

2

sinx+

2

2

cosx)-

1

3

 =2sinx，…（7分）  cosx-sinx=

1

3

，…（9分）
将上式平方，得1-sin2x=

1

9

，…（12分）
所以sin2x=

8

9

．…（13分）

点评：本题考查两角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的定义域和值域，求得cosx-sinx=

1

3

，是解题的关键．