题目内容

（2011•西城区二模）函数y=sinπx（x∈R）的部分图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则tan∠OPB=（　　）
分析：△OPB中，OB=
2π
π
=2，点 P（
1
2
，1），点B（2，0），由余弦定理求出cos∠OPB=
65
65
，再利用同角三角函数的基本关系求出sin∠OPB=
8
65
65
，从而求得 tan∠OPB 的值．
解答：解：△OPB中，OB=
2π
π
=2，点 P（
1
2
，1），点B（2，0），
∴OP=
1
4
+1
=
5
2
，PB=
(2-
1
2
)2+(0-1)2
=
13
2
，由余弦定理可得
4=
5
4
+
13
4
-2×
5
2
×
13
2
cos∠OPB，
∴cos∠OPB=
65
65
．
∴sin∠OPB=
8
65
65
，tan∠OPB=
8
65
65
65
65
=8，
故选 B．
点评：本题主要考查余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，正弦函数的周期性及求法，求出cos∠OPB=
65
65
，是解题的关键，属于中档题．
练习册系列答案
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（2011•西城区二模）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱BC的中点，DM=3
2
．
（Ⅰ）求证：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面MDO；
（Ⅲ）求三棱锥M-ABD的体积．
（2011•西城区二模）已知函数f(x)=(1-
ax
)ex(x＞0)，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的面积；
（Ⅱ）若函数f（x）存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e5，求a的值．
（2011•西城区二模）已知函数f(x)=
cos2x
sin(x+
π
4
)
．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若f(x)=
4
3
，求sin2x的值．
（2011•西城区二模）已知函数f(x)=
2
sin(x+
π
4
)-
1
3
sinx
．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若f（x）=2，求sin2x的值．

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