Question

设A是m阶方阵，定义运算：A•A=A²，Aⁿ⁺¹=A^n_•A（n∈N^*），称这一运算为矩阵的乘方．显然矩阵的乘方满足：对任意的m，n∈N^*，A^m•Aⁿ=A^m+n，设A=

1 1 0 1

，计算A²，A³，A⁴，并对一切正整数n，猜想Aⁿ=

 

．

Answer 1

分析：利用矩阵乘法的定义有A2=A•A =

1 1 0 1

1 1 0 1

=

1×1+1×0 1×1+1×1 0×1+1×0 0×1+1×1

=

1 2 0 1

，再利用Aⁿ⁺¹=A^n•A可求．

解答：解：A2=A•A =

1 1 0 1

1 1 0 1

=

1×1+1×0 1×1+1×1 0×1+1×0 0×1+1×1

=

1 2 0 1

，A3=A2•A=

1 2 0 1

1 1 0 1

=

1 3 0 1

，同理A4=

1 4 0 1

，猜想 An=

1 n 0 1

，
故答案为：An=

1 n 0 1

点评：本题主要考查矩阵乘法，矩阵的乘方，利用好定义、性质是解题的关键．