Question

10．若椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与直线x+y=1交于A、B两点，且|AB|=2$\sqrt{2}$，又M为AB的中点，O为坐标原点，直线OM的斜率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求该椭圆的方程．

Answer 1

分析 首先，求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，借助于OM的斜率，易得a、b的两个方程．

解答 解：设点M（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}{b}^{2}}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$，得
（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，
∴${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}^{2}（1-{b}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$$\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}$×$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-1}$=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{ab\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-1}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=1$，
∴a²b²（a²+b²-1）=（a²+b²）²，①
又M为AB的中点，
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
y₀=1-x₀=1-$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴$\frac{b}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，②
根据①②，得
${a}^{2}=\frac{11}{3}$，${b}^{2}=\frac{11}{6}$，
∴椭圆的方程$\frac{{x}^{2}}{\frac{11}{3}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{11}{6}}=1$．

点评 本题主要考查了椭圆的应用，直线与圆锥曲线的位置关系的问题．一般是把直线与圆锥曲线的方程联立，充分利用判别式和韦达定理求得问题的解决．