Question

已知O、A、B、C是不共线的四点，若存在一组正实数λ₁﹑λ₂﹑λ₃，使λ₁+λ₂+λ₃=，则三个角∠AOB、∠BOC、∠COA

1. A.
   都是锐角
2. B.
   至多有两个钝角
3. C.
   恰有两个钝角
4. D.
   至少有两个钝角

Answer 1

D
分析：根据λ₁+λ₂+λ₃=，移向得λ₁+λ₂=-λ₃，两边同时点乘，得λ₁•+λ₂=-λ₃＜0，在根据正实数λ₁﹑λ₂﹑λ₃，和向量数量积的定义即可确定∠BOC、∠COA至少有一个为钝角，同理可证明∠AOB、∠BOC至少有一个为钝角，∠AOB、∠COA至少有一个为钝角，从而得到结论．
解答：∵λ₁+λ₂+λ₃=，
∴λ₁+λ₂=-λ₃，两边同时点乘，得
λ₁•+λ₂=-λ₃，
即λ₁||•||cos∠COA+λ₂cos∠BOC=-λ₃＜0，，
∴∠BOC、∠COA至少有一个为钝角，
同理∠AOB、∠BOC至少有一个为钝角，∠AOB、∠COA至少有一个为钝角，
因此∠AOB、∠BOC、∠COA至少有两个钝角．
故选D．
点评：此题是个中档题．考查数量积表示两个向量的夹角，以及数量积的定义式，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．