Question

下列说法正确的是

 

．
①y=sinx+

4

sinx

（0＜x≤

π

2

）的最小值为4
②y=

x2+5

x2+4

的最小值为2
③y=e^x+e^-x的最小值为2
④x＞0，y＞0，且x+y=20，则m=lgx+lgy的最大值为2．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：不等式的解法及应用

分析：①令sinx=t（0＜t≤1），则y=t+

4

t

，求导数，判断单调性，再求最值，注意运用基本不等式，等号不成立；
②令

x2+4

=t（t≥2），则y=t+

1

t

，若运用基本不等式求最值，等号不成立，可用导数判断单调性，从而求出最值；
③运用基本不等式求出最值，注意等号成立的条件；
④运用基本不等式求最值，注意运用对数的运算法则和变形：xy≤（

x+y

2

）²即可．

解答： 解：①y=sinx+

4

sinx

（0＜x≤

π

2

），令sinx=t（0＜t≤1），则y=t+

4

t

，由于y′=1-

4

t2

＜0，故（0，1]为减区间，故最小值为5，故①错；
②y=

x2+5

x2+4

，令

x2+4

=t（t≥2），则y=t+

1

t

≥2，t=1时取最小值，但t≥2，故最小值不为2，由于y′=1-

1

t2

＞0，故[2，+∞）为增区间，故最小值为

5

2

，即②错；
③由于e^x＞0，e^-x＞0，则y=e^x+e^-x≥2，当且仅当x=0，y取最小值2，故③正确；
④x＞0，y＞0，且x+y=20，则m=lgx+lgy=lg（xy）≤lg（

x+y

2

）²=lg100=2，当且仅当x=y=10，m取最大值2，故④正确．
故答案为：③④．

点评：本题以命题的真假为载体，考查基本不等式的运用，主要是求最值，应注意等号成立的条件，同时考查运用导数判断单调性，求最值．