Question

（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱中,、、分别是、、的中点，是上的点.
（1）求直线与平面所成角的正切值的最大值；
（2）求证：直线平面；
（3）求直线与平面的距离.

(第19题图)

 

Answer 1

（1）线PE与平面ABC所成角的最大值为 
（2）略
（3）

解:（1）PE在平面ABC内的射影为AP，
则∠EPA为PE与平面ABC所成角的平面角，

当点P与D重合时，AP最短，此时：

取直线PE与平面ABC所成角的最大值为     …………（4分）
（2）如图所示，连接DE、CE，∵D、E、F分别是所在棱的中点，
  
,
又平面EDC//平面
  ………………………………………………………（8分）
（3）解法一 由（2）可知，直线PE与平面的距离等于两平行平面EDC与平面 的距离，即点到平面EDC的距离，亦即A到平面EDC的距离.设A到平面EDC的距离为，又，平面且平面，又,
为直角三角形.
由，得
      ………………………………………… （12分）
解法二 由（1）知，平面EDC//平面,故平面的法向量也为.又E到平面的距离，即为向量在法向量n上的投影的绝对值，
又=