Question

对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

分组	频数	频率
[10，15）	10	0.25
[15，20）	25	n
[20，25）	m	p
[25，30）	2	0.05
合计	M	1

（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；
（Ⅱ）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用统计中，求出表中的M，利用频数和为M求出m，利用频率分布直方图中频率=纵坐标×组距求出a的值．
（II）利用，求出参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数．
（III）先利用求出参加社区服务的次数不少于20次的学生人数，利用列举的方法求出从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人的情况，列举出至多一人参加社区服务次数在区间[20，25）内的人数，利用古典概型的概率个数求出概率．
解答：解：（Ⅰ）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，，
所以M=40．
因为频数之和为40，所以10+25+m+2=40，m=3.．
因为a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，所以
（Ⅱ）因为该校高三学生有360人，分组[10，15）内的频率是0.25，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数.360×0.25=90人．
（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有3+2=5人，
设在区间[20，25）内的人为{a₁，a₂，}，在区间[25，30）内的人为{b₁，b₂}．
则任选2人共有（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，a₃），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（b₁，b₂）10种情况，
而两人都在[20，25）内共有（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃）3种，
至多一人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率.
点评：在解决频率分布直方图的问题时，要注意直方图中的纵坐标，直方图中求频率等于纵坐标乘以组距；求事件的概率时，一个先判断事件是什么概型，再选择合适的概率公式．