题目内容
（2007•汕头二模）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，tan∠DAC=| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 25 |
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面CBD；
（Ⅱ）若M是AB的中点，求AC与平面MCD所成角的一个三角函数值．
分析：（I）证明平面ABD⊥平面CBD，只需证明AO⊥平面BCD；
（II）建立空间直角坐标系，求出
=(8，0，-8)，平面MCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．
（II）建立空间直角坐标系，求出
| AC |
解答：
（Ⅰ）证明：菱形ABCD中，tan∠DAC=
，AD=10，
∴OA=8，OD=6 …（1分）
翻折后变成三棱椎A-BCD，在△ACD中，
，…（3分）
在△AOC中，OA2+OC2=128=AC2，…（4分）
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，又AO⊥BD，OC∩BD=O，
∴AO⊥平面BCD，
又AO?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面CBD． …（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA，OC，OD两两互相垂直，分别以OA，OC，OD所在直线为坐标轴建系，则A（0，0，8），B（0，-6，0），C（8，0，0）D（0，6，0）M（0，-3，4），…（7分）
=(8，3，-4)，
=(8，-6，0)，
=(8，0，-8)，…（8分）
设平面MCD的一个法向量为
=(x，y，z)，则由
，得
，…（10分）
令y=4，有
=(3，4，9)，…（11分）
设AC与平面MCD所成角为θ，则cosθ=|cos＜
，
＞|=|
|=
，…（13分）
∴AC与平面MCD所成角的余弦值为
，…（14分）
（Ⅰ）证明：菱形ABCD中，tan∠DAC=| 3 |
| 4 |
∴OA=8，OD=6 …（1分）
翻折后变成三棱椎A-BCD，在△ACD中，
|
在△AOC中，OA2+OC2=128=AC2，…（4分）
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，又AO⊥BD，OC∩BD=O，
∴AO⊥平面BCD，
又AO?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面CBD． …（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA，OC，OD两两互相垂直，分别以OA，OC，OD所在直线为坐标轴建系，则A（0，0，8），B（0，-6，0），C（8，0，0）D（0，6，0）M（0，-3，4），…（7分）
| MC |
| DC |
| AC |
设平面MCD的一个法向量为
| n |
|
|
令y=4，有
| n |
设AC与平面MCD所成角为θ，则cosθ=|cos＜
| AC |
| n |
| 24-72 | ||||
|
| 3 |
| 53 |
| 53 |
∴AC与平面MCD所成角的余弦值为
| 3 |
| 53 |
| 53 |
点评：本题考查面面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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