Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*），
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）cn=

an

2n

，求证：数列{c_n}是等差数列；  
（3）求S_n=a₁+a₂+…+a_n的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中S_n+1=4a_n+2，我们易得S_n+2=4a_n+1+2，两式相减可得a_n+2=4a_n+1-4a_n．结合b_n=a_n+1-2a_n，易求出数列{b_n}相邻两项之比为定值，再结合a₁=1，即可得到数列{b_n}是首项，进而得到结论；
（2）由cn=

an

2n

，我们可得c_n+1-c_n=

an+1

2n+1

-

an

2n

，根据（1）的结论易得其值为一定值，即数列{c_n}是等差数列；  
（3）由（2）中定义，我们易写出S_n=a₁+a₂+…+a_n的表达式，结合等比数列的前n项和公式化简后，即可得到答案．

解答：解：（1）由题意，S_n+1=4a_n+2，S_n+2=4a_n+1+2，两式相减，得S_n+2-S_n+1=4（a_n+1-a_n）
即a_n+2=4a_n+1-4a_n．
∴a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n）
∵b_n=a_n+1-2a_n
∴b_n+1=2b_n（n∈N^*），
q=

bn+1

bn

=2，
又由题设，得1+a₂=4+2=6，即a₂=5
b₁=a₂-2a₁=3，
∴数列{b_n}是首项为3，公比为2的等比数列，其通项公式为b_n=3•2^n-1．
（2）由题设，可得c_n+1-c_n=

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

bn

2n+1

=

3•2n-1

2n+1

=

3

4

数列{c_n}是公差为

3

4

的等差数列．
又 c₁=

a1

2

=

1

2

∴c_n=

3

4

n-

1

4

（3）∵c_n=

3

4

n-

1

4

，∴a_n=

3

4

n×2n-

1

4

×2n，
a_n-1=2n-1(

3

4

n-1)∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=4×2n-1(

3

4

n-1)+2=（3n-4）2^n-1+2．

点评：本题考查的知识点是等差关系的确定，等比关系的确定，数列的求和，要判断一个数列是否为等差（比）数列，我们常用定义法，判断数列连续两项之间的差（比）是否为定值．