Question

已知函数，
对定义域内的任意x都有f（2-x）+f（2+x）=0成立．
（1）求实数m的值；
（2）当x∈（b，a）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求实数a，b的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由条件：“f（2-x）+f（2+x）=0”得：化简得：（m²-1）x²=0对定义域内的任意x成立，即可求得m 值；
（2）先写出f（x）的表达式：，由f（x）的取值范围恰为（1，+∞），对a进行分类讨论：当0＜a＜1时，当a＞1时，分别求得实数a，b的值即可．
解答：解：（1）由条件得：〔（1分）〕
∴（m²-1）x²=0对定义域内的任意x成立〔（3分）〕
∴m²-1=0〔（4分）〕
∴m=1或m=-1〔（5分）〕
当m=1时不成立
∴m=-1〔（7分）〕
（2）
由f（x）的取值范围恰为（1，+∞），
当0＜a＜1时，x∈（b，a）的值域为（0，a），〔（8分）〕
函数在x∈（b，a）上是减函数，所以，这是不可能的．〔（10分）〕
当a＞1时，x∈（b，a）的值域为（a，+∞），〔（11分）〕
所以，函数在x∈（b，a）上是减函数，并且b=3〔（13分）〕
所以，，解得〔（15分）〕
综上：，b=3〔（16分）〕
点评：本小题主要考查对数函数图象与性质的综合应用，考查运算求解能力，（2）问解答关键是对a分类讨论后应用函数的单调性．