题目内容

已知函数 $数学公式$ ，
对定义域内的任意x都有f（2-x）+f（2+x）=0成立．
（1）求实数m的值；
（2）当x∈（b，a）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求实数a，b的值．

解：（1）由条件得： $\text{[math]}$ 〔〕
∴（m²-1）x²=0对定义域内的任意x成立〔〕
∴m²-1=0〔〕
∴m=1或m=-1〔〕
当m=1时不成立
∴m=-1〔〕
（2） $\text{[math]}$
由f（x）的取值范围恰为（1，+∞），
当0＜a＜1时， $\text{[math]}$ x∈（b，a）的值域为（0，a），〔〕
函数 $\text{[math]}$ 在x∈（b，a）上是减函数，所以 $\text{[math]}$ ，这是不可能的．〔〕
当a＞1时， $\text{[math]}$ x∈（b，a）的值域为（a，+∞），〔〕
所以，函数 $\text{[math]}$ 在x∈（b，a）上是减函数，并且b=3〔〕
所以， $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ 〔〕
综上： $\text{[math]}$ ，b=3〔〕
分析：（1）先由条件：“f（2-x）+f（2+x）=0”得： $\text{[math]}$ 化简得：（m²-1）x²=0对定义域内的任意x成立，即可求得m 值；
（2）先写出f（x）的表达式： $\text{[math]}$ ，由f（x）的取值范围恰为（1，+∞），对a进行分类讨论：当0＜a＜1时，当a＞1时，分别求得实数a，b的值即可．
点评：本小题主要考查对数函数图象与性质的综合应用，考查运算求解能力，（2）问解答关键是对a分类讨论后应用函数的单调性．