Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且，若E、F分别为PC、BD的中点．

(Ⅰ)EF//平面PAD；

(Ⅱ)求证：平面PDC⊥平面PAD；

(Ⅲ)求二面角B－PD－C的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：连结，在中//　　2分 　　且平面，平面 　　∴　　4分 　　(Ⅱ)证明：因为面面平面面 　　所以，平面　　6分 　　又，所以是等腰直角三角形，且即　　8分 　　，且、面 　　面 　　又面面面　　10分 　　(Ⅲ)解：设的中点为，连结，，则 　　由(Ⅱ)知面， 　　面 　　是二面角的平面角　　12分 　　中， 　　故所求二面角的正切值为　　14分 　　另解：如图，取的中点，连结， 　　∵，∴ 　　∵侧面底面，， 　　∴， 　　而分别为的中点，∴，又是正方形，故 　　∵，∴， 　　以为原点，直线为轴建立空间直线坐标系，则有，，，，， 　　∵为的中点，∴ 　　(Ⅰ)易知平面的法向量为而， 　　且，∴//平面 　　(Ⅱ)∵，∴， 　　∴，从而，又，， 　　∴，而，∴平面平面 　　(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面的法向量为 　　设平面的法向量为∵， 　　∴由可得，令，则， 　　故 　　∴， 　　即二面角的余弦值为，二面角的正切值为．