题目内容
在数列{an}中，已知
．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：数列{bn}是等差数列；
（3）设数列{cn}满足cn=an+bn，求{cn}的前n项和Sn．
【答案】分析：（1）由题设知数列{an}是首项为
，公比为
的等比数列，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由
，知
=3n-2．由此能够证明数列{bn}是等差数列．
（3）由
，bn=3n-2，知cn=an+bn=（
）n+3n-2，由此利用分组求和法能求出{cn}的前n项和Sn．
解答：解：（1）在数列{an}中，∵
，
∴数列{an}是首项为
，公比为
的等比数列，
∴an=（
）n，n∈N*．
（2）∵
，
∴
=3n-2．
∴b1=1，bn+1-bn=3，
∴数列{bn}是首项为b1=1，公差d=3的等差数列．
（3）由（1）知
，bn=3n-2，
∴cn=an+bn=（
）n+3n-2，
∴Sn=1+
+4+（
）2+7+（
）3+…+（3n-5）+（
）n-1+（3n-2）+（
）n
=[1+4+7+…+（3n-5）+（3n-2）]+[
+（
）2+（
）3+…+（
）n]
=
+
=
．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的证明，考查数列的前n和的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意分组求和法的合理运用．
，公比为
的等比数列，由此能求出数列{an}的通项公式．（2）由
，知
=3n-2．由此能够证明数列{bn}是等差数列．（3）由
，bn=3n-2，知cn=an+bn=（
）n+3n-2，由此利用分组求和法能求出{cn}的前n项和Sn．解答：解：（1）在数列{an}中，∵
，∴数列{an}是首项为
，公比为
的等比数列，∴an=（
）n，n∈N*．（2）∵
，∴
=3n-2．∴b1=1，bn+1-bn=3，
∴数列{bn}是首项为b1=1，公差d=3的等差数列．
（3）由（1）知
，bn=3n-2，∴cn=an+bn=（
）n+3n-2，∴Sn=1+
+4+（
）2+7+（
）3+…+（3n-5）+（
）n-1+（3n-2）+（
）n=[1+4+7+…+（3n-5）+（3n-2）]+[
+（
）2+（
）3+…+（
）n]=
+
=
．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的证明，考查数列的前n和的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意分组求和法的合理运用．
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