题目内容

在数列{an}中，已知．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：数列{bn}是等差数列；
（3）设数列{cn}满足cn=an+bn，求{cn}的前n项和Sn．
【答案】分析：（1）由题设知数列{an}是首项为，公比为的等比数列，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由，知=3n-2．由此能够证明数列{bn}是等差数列．
（3）由，bn=3n-2，知cn=an+bn=（）n+3n-2，由此利用分组求和法能求出{cn}的前n项和Sn．
解答：解：（1）在数列{an}中，∵，
∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列，
∴an=（）n，n∈N*．
（2）∵，
∴=3n-2．
∴b1=1，bn+1-bn=3，
∴数列{bn}是首项为b1=1，公差d=3的等差数列．
（3）由（1）知，bn=3n-2，
∴cn=an+bn=（）n+3n-2，
∴Sn=1++4+（）2+7+（）3+…+（3n-5）+（）n-1+（3n-2）+（）n
=[1+4+7+…+（3n-5）+（3n-2）]+[+（）2+（）3+…+（）n]
=+
=．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的证明，考查数列的前n和的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意分组求和法的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，已知a1=
1
4
，
an+1
an
=
1
4
，bn+2=3log 
1
4
an（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{bn}是等差数列；
（Ⅲ）设cn=
3
bn•bn+1
，Sn是数列{cn}的前n项和，求使Sn＜
m
20
对所有n∈N*都成立的最小正整数m．
在数列{an}中，已知a1=1，an+1=
an1+2an
(n∈N+)．
（1）求a2，a3，a4，并由此猜想数列{an}的通项公式an的表达式；
（2）用适当的方法证明你的猜想．
在数列{an}中，已知a1=1，a2=2，且an+2等于an•an+1的个位数（n∈N*），若数列{an}的前k项和为2011，则正整数k之值为（　　）
（2012•淮南二模）在数列{an}中，已知an≥1，a1=1，且an+1-an=
2
an+1+an-1
，n∈N+．
（1）记bn=（an-
1
2
）2，n∈N+，求证：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式；
（3）对?k∈N+，是否总?m∈N+使得an=k？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
在数列{an}中，已知a1=
7
2
，an=3an-1+3n-1（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）计算a2，a3；
（Ⅱ）求证：{
an-
1
2
3n
}是等差数列；
（Ⅲ）求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn．

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