Question

如图，从点P₁（0，0）做x轴的垂线交曲线y=e^x于点Q₁（0，1），曲线在Q₁点处的切线与x轴交于点P₂，再从P₂做x轴的垂线交曲线于点Q₂，依次重复上述过程得到一系列点：P₁，Q₁；P₂，Q₂…；P_n，Q_n，记P_k点的坐标为（x_k，0）（k=1，2，…，n）．
（Ⅰ）试求x_k与x_k-1的关系（2≤k≤n）；
（Ⅱ）求|P₁Q₁|+|P₂Q₂|+|P₃Q₃|+…+|P_nQ_n|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出p_k-1的坐标，求出Q_k-1，利用导数的几何意义函数在切点处的导数值是曲线的曲线的斜率，利用点斜式求出切线方程，令y=0得到x_k与x_k+1的关系．
（Ⅱ）求出|P_kQ_k|的表达式，利用等比数列的前n项和公式求出和．

解答：解：（Ⅰ）设P_k-1（x_k-1，0），
由y=e^x得Qk-1(xk-1，exk-1)
点Q_k-1处切线方程为y-exk-1=exk-1(x-xk-1)
由y=0得x_k=x_k-1-1（2≤k≤n）．
（Ⅱ）x₁=0，x_k-x_k-1=-1，得x_k=-（k-1），
|PkQk|=exk=e-(k-1)
S_n=|P₁Q₁|+|P₂Q₂|+|P₃Q₃|+…+|P_nQ_n|
=1+e-1+e-2+…+e-(n-1)=

1-e-n

1-e-1

=

e-e1-n

e-1

点评：本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是曲线的曲线的斜率、考查等比数列的前n项和公式求出和．