Question

设函数f（x）=alnx，g（x）=

1

2

x²．
（1）记h（x）=f（x）-g（x），若a=4，求h（x）的单调递增区间；
（2）记g'（x）为g（x）的导函数，若不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x-g（x）在x∈[1，e]上有解，求实数a的取值范围；
（3）若a=1，对任意的x₁＞x₂＞0，不等式m[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）恒成立．求m（m∈Z，m≤1）的值．

Answer 1

（1）当a=4时，可得f（x）=4lnx，此时h(x)=4lnx-

1

2

x2，
由h′(x)=

4

x

-x＞0得-2＜x＜2，结合x＞0，可得0＜x＜2．
所以h（x）的单调递增区间为（0，2）．…（4分）
（2）不等式f（x）+2g′（x）≤（a+3）x-g（x），即为alnx+2x≤(a+3)x-

1

2

x2，
化简得：a(x-lnx)≥

1

2

x2-x，
由x∈[1，e]知x-lnx＞0，因而a≥

1 2 x2-x

x-lnx

，设y=

1 2 x2-x

x-lnx

，
由y′=

(x-1)(x-lnx)-(1- 1 x )( 1 2 x2-x)

(x-lnx)2

=

(x-1)( 1 2 x+1-lnx)

(x-lnx)2

，
∵当x∈（1，e）时x-1＞0，

1

2

x+1-lnx＞0，∴y′＞0在x∈[1，e]时成立．
由不等式有解，可得知a≥ymin=-

1

2

，即实数a的取值范围是[-

1

2

，+∞）…（10分）
（3）当a=1，f（x）=lnx．
由m[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）恒成立，得mg（x₁）-x₁f（x₁）＞mg（x₂）-x₂f（x₂）恒成立，
设t(x)=

m

2

x2-xlnx(x＞0)．
由题意知x₁＞x₂＞0，故当x∈（0，+∞）时函数t（x）单调递增，
∴t′（x）=mx-lnx-1≥0恒成立，即m≥

lnx+1

x

恒成立，
因此，记y=

lnx+1

x

，得y′(x)=

-lnx

x2

，
∵函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴函数h（x）在x=1时取得极大值，并且这个极大值就是函数h（x）的最大值．
由此可得h（x）_max=h（1）=1，故m≥1，结合已知条件m∈Z，m≤1，可得m=1．…（16分）