Question

椭圆（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，3），离心率
（1）求椭圆方程；
（2）若直线?：y=kx-3与椭圆交于不同的两点M，N，且满足，，求直线?的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意，a，b，c的关系有b=3，e=，a²=b²+c²，解得a=5，b=3．
（2）由题意得AP⊥MN，且P是线段MN的中点．设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、P（x，y）联立直线与椭圆的方程的（25k²+9）x²-150kx=0．可得P点的坐标进而得直线AP的斜率为，由MN⊥AP，得，可得k的值，进而求出 的方程．
解答：解：（1）依题意，有，解得
∴椭圆方程为．
（2）∵，，
∴AP⊥MN，且P是线段MN的中点，
由消去y并整理得，（25k²+9）x²-150kx=0．
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、P（x，y）
则，∴
∴
即
∵k≠0，∴直线AP的斜率为
由MN⊥AP，得，
解得（此时满足判别式△＞0）
∴直线?的方程为．
点评：求解椭圆方程的关键是熟练掌握椭圆中的相关数值a，b，c之间的关系，求解直线方程的关键是灵活运用平面向量的有关知识，把向量问题转化为代数运算问题，此知识点是高考考查的热点之一．