题目内容

已知椭圆(a>b>0)的右焦点为F2(3,0),离心率为
(1)求椭圆的方程.
(2)设直线y-kx与椭圆相交于A,B两点,M,N分别为线段AF2,BF2的中点,若坐标原点O在以MN为直径的圆上,求k的值.
【答案】分析:(1)由题意得,解得a,再结合a2=b2+c2,可求得b2,从而可得椭圆的方程;
(2)由椭圆的方程与直线的方程y=kx联立,得(3+12k2)x2-12×3=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),=(x1-3,y1),=(x2-3,y2),依题意,AF2⊥BF2,由=0即可求得k的值.
解答:解:(1)由题意得,得a=2.  …(2分)
结合a2=b2+c2,解得a2=12,b2=3.…(4分)
所以,椭圆的方程为+=1.        …(6分)
(2)由,得(3+12k2)x2-12×3=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=0,x1x2=-,…(10分)
依题意,OM⊥ON,
易知,四边形OMF2N为平行四边形,所以AF2⊥BF2,…(12分)
因为=(x1-3,y1),=(x2-3,y2),
所以=(x1-3)(x2-3)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0,
+9=0,
解得k=±.…(15分)
点评:本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力,属于难题.
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