Question

如图所示的多面体V-ABCD，它的正视图为直角三角形，侧视图为等腰三角形，俯视图的边界为正方形（尺寸如图所示，单位：cm）．
（I）求多面体V-ABCD的表面积；
（II）设

VE

=λ

VB

，是否存在实数λ使得平面VCD与平面EAC所成的锐角为30°？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）多面体V-ABCD的表面积为S_△VAB+S_{正方形ABCD}+S_△VAD+S_△VCD，即可得到结论；
（II）设AB，CD的中点为O，F，连接VO，OF，则OB，OF，OV两两垂直，以O为原点，OB，OF，OV所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，确定平面VCD与平面EAC的法向量，利用平面VCD与平面EAC所成的锐角为30°，即可求得结论．

解答：解：（I）由题意，S_△VAB=

1

2

×2×2=2，S_{正方形ABCD}=2×2=4
在△VBC中，BC=2，VB=

5

，且VB⊥BC，∴S_△VBC=

1

2

×2×

5

=

5

同理可得S_△VAD=

1

2

×2×

5

=

5

在△VCD中，VC=VD=3，CD=2，∴S_△VCD=

1

2

×2×2

2

=2

2

∴多面体V-ABCD的表面积为6+2

5

+2

2

；
（II）设AB，CD的中点为O，F，连接VO，OF，则OB，OF，OV两两垂直，以O为原点，OB，OF，OV所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系
则A（-1，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（-1，2，0），V（0，0，2），E（

1

2

，0，1）
设平面VCD的一个法向量为

n

=（x，y，z）
∵

VC

=（-1，-2，2），

CD

=（-2，0，0）
∴由

n • VC =0 n • CD =0

可得

-x-2y+2z=0 -2x=0

，∴可取

n

=（0，1，1）
设平面EAC的一个法向量为

m

=（x′，y′，z′）
∵

VE

=λ

VB

=（λ，0，-2λ），

VA

=（-1，0，-2）
∴

EA

=

VA

-

VE

=（-1-λ，0，2λ-2）
∵

AC

=（2，2，0）
∴

(-1-λ)x′+(2λ-2)z′=0 2x′+2y′=0

，∴可取

m

=（2λ-2，-2λ+2，λ+1）
∵平面VCD与平面EAC所成的锐角为30°
∴cos＜

m

，

n

＞=

|-λ+3|

2 • (2λ-2)2+(-2λ+2)2+(λ+1)2

=

3

2

∴25λ²-30λ+9=0
∴λ=

3

5

∴存在λ=

3

5

，使得平面VCD与平面EAC所成的锐角为30°

点评：本题考查多面体的表面积，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．