Question

如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截面得，已知FA⊥平面ABC，AB＝2，BD＝1，AF＝2， CE＝3，O为AB的中点．

（1）求证：OC⊥DF；

（2）求平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小；

（3）求多面体ABC—FDE的体积V．

 

Answer 1

【答案】

（1）以O为原点，OB、OC、Oz分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

即 

（2）平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小为      

（3）

【解析】

试题分析：（1）证法一：FA⊥平面ABC，平面ABC，     2分

又CA=CB且O为AB的中点， 平面ABDF，          4分

平面ABDF，        5分

证法二：如图，以O为原点，OB、OC、Oz分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，                2分

即      5分

（2）解法一：解：设平面ABC的法向量为            6分

设平面DEF的法向量为 

由得, 

解得,           8分

所以,          10分

故平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小为            11分

解法二：设平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小为，依题中的条件可求得DE=由空间射影定理得故平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小为             11分

解法三：延长ED、FD交直线CB、AB于M、N两点，过B点作MN的垂线交MN于Q点，连结DQ，

平面BMN，所以为二面角的平面角，

，故平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小为      11分

（3）解法一：由（1）知平面ABDF，且平面ABC，

 

         14分

所以多面体ABC—FDE的体积为解法二：在原来的几何体再补一个相同的几何体得到一个直三棱柱，其底面为ABC，高为4，

所以多面体ABC—FDE的体积所以多面体ABC—FDE的体积为

考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系、角及体积计算。

点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。对计算能力要求较高。