Question

（2013•宁德模拟）如图所示的多面体A₁ADD₁BCC₁中，底面ABCD为正方形，AA₁∥BB₁∥CC₁，AA₁2AB=2AA₁=CC₁=DD₁=4，且AA₁⊥底面ABCD．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面CDD₁C₁；
（Ⅱ）求多面体A₁ADD₁BCC₁的体积V．

Answer 1

分析：（I）取DD₁的中点M，连结A₁M，CM，易证四边形AA₁MD为平行四边形，进而A₁M∥AD，A₁M=AD，结合底面ABCD为正方形，可得A₁M∥BC，A₁M=BC，即四边形A₁BCM为平行四边形，故有A₁B∥CM，结合线面平行的判定定理，可得A₁B∥平面CDD₁C₁；
（Ⅱ）由线面垂直的判定定理可得AB⊥平面A₁ADD₁及BC⊥平面CDD₁C₁，由V=VB-A1ADD1+VB-CDD1C1，代入棱锥体积公式可得答案．

解答：证明：（I）取DD₁的中点M，连结A₁M，CM
由题意可得AA₁=DM=2，AA₁∥DM
∴四边形AA₁MD为平行四边形
即A₁M∥AD，A₁M=AD
又由底面ABCD为正方形
∴AD∥BC，AD=BC
∴A₁M∥BC，A₁M=BC
∴四边形A₁BCM为平行四边形
∴A₁B∥CM
又∵A₁B?平面CDD₁C₁，CM?平面CDD₁C₁；
∴A₁B∥平面CDD₁C₁；
（II）连结BD
∵AA₁⊥底面ABCD，AB?底面ABCD
∴AA₁⊥AB
又∵AD⊥AB，AD∩AA₁=A
∴AB⊥平面A₁ADD₁，
同理可证BC⊥平面CDD₁C₁，
∴V=VB-A1ADD1+VB-CDD1C1=

1

3

×（

6×2

2

×2+4×2×2）=

28

3

点评：本题主要考查空间线与线，线与面的位置关系，体积的计算等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力．