Question

已知，

（1）对一切恒成立，求实数的取值范围；

（2）当＝1时，求函数上的最小值和最大值；

（3）证明：对一切成立。

Answer 1

解：（1）对一切恒成立，即恒成立.也就是－在恒成立.            

令 ，

则，             

在上，在上，因此，在处取极小值，也是最小值，即，所以－.　　　

（2）当时_， ，

，由得.                  

①当时，在上，在上

因此，在处取得极小值，也是最小值.  .

由于

因此，             

②当，，因此上单调递增，所以，  

（3）证明：问题等价于证明,         

由(Ⅱ)知时，的最小值是，

当且仅当时取得，                                

设，则，易知

，当且仅当时取到，

但从而可知对一切，都有成立.