Question

在△ABC中，若B=

π

3

，且a+c=

3

b，求角A的大小．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：由题意和余弦定理化简可得ac=

2

3

b2，由正弦定理列出方程组求出sinA，由内角的范围和内角和定理求出角A．

解答： 解：由题意得，B=

π

3

，且a+c=

3

b，
由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB，
则b²=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，
由a+c=

3

b得，（a+c）²=3b²代入上式得，ac=

2

3

b2，
因为B=

π

3

，且a+c=

3

b，ac=

2

3

b2
所以由正弦定理得，

sinA+sinC= 3 sinB sinAisnC= 2 3 sin2B

，即

sinA+sinC= 3 2 sinAisnC= 1 2

，
解得sinA=1或

1

2

，
当sinA=1时，则A=

π

2

；当sinA=

1

2

时，则A=

π

6

或

5π

6

；
当A=

5π

6

时，A+B＞π，则舍去，
综上可得，A=

π

2

或

π

6

．

点评：本题考查正弦、弦定理的灵活应用，三角形的内角和定理，以及内角的范围，容易忽略三角形中的角的范围和关系．