Question

如图，

OA

，

OB

分别为x，y非负半轴上的单位向量，点C在x轴上且在点A的右侧，D、E分别为△ABC的边AB、BC上的点．若

OE

与

OA

+

OB

共线．

DE

与

OA

共线，则

OD

•

BC

的值为（　　）

A．-1

B．0

C．1

D．2

Answer 1

分析：由题意得E在∠A0B的平分线上．设E（m，m），根据

DE

∥

OA

得到D的坐标为（1-m，m），利用直线BE的方程算出C（

m

1-m

，0）．由此可得

OD

、

BC

关于m的坐标形式，再由向量数量积的坐标公式即可算出

OD

•

BC

的值．

解答：解：根据题意，可得A（1，0），B（0，1），直线AB的方程为y=1-x，
∵

OE

与

OA

+

OB

共线，|

OA

|=|

OB

|，
∴点E在∠A0B的平分线上，可得0E所在直线方程是y=x，
设E（m，m），由

DE

与

OA

共线，得D的纵坐标为m，
将y=m代入直线AB方程，得x=1-m，可得D（1-m，m），
∵B（0，1），E（m，m），
∴直线BE的方程为

y-1

m-1

=

x-0

m-0

，化简得（m-1）x-my+m=0，
再令y=0得x=

m

1-m

，可得点C坐标为（

m

1-m

，0），
∴

BC

=（

m

1-m

，-1），

OD

=（1-m，m），可得

OD

•

BC

=

m

1-m

•（1-m）+（-1）•m=0．
故选：B

点评：本题以等腰三角形中的向量为载体，求两个向量的数量积．着重考查了向量的线性运算、向量的数量积公式与直线的方程等知识，考查了利用直角坐标系解决向量在几何问题中的应用的方法，属于中档题．