题目内容
（1）已知A（-1，2），B（2，8），| AC |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| DA |
| 2 |
| 3 |
| AB |
| CD |
（2）如图，过△OAB的重心G的直线与边OA、OB分别交于P、Q，设O
| P |
| OA |
| Q |
| OB |
| 1 |
| h |
| 1 |
| k |
分析：（1）由A、B的坐标算出
=（3，6），从而算出
、
的坐标，得出
=
+
=(-1，-2)，可得向量
的坐标．
（2）由点G为△OAB的重心得
=
=
+
．设
=λ
，变形整理得到
=
+
，结合题意整理得
+
k
=
+
．根据平面向量基本定理建立关于λ、h和k的方程组，消去λ并化简可得
+
=3．
| AB |
| AC |
| DA |
| DC |
| DA |
| AC |
| CD |
（2）由点G为△OAB的重心得
| OG |
| 2 |
| 3 |
| OM |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| 1 |
| 3 |
| OB |
| PG |
| GQ |
| OG |
| 1 |
| 1+λ |
| OP |
| λ |
| 1+λ |
| OQ |
| h |
| 1+λ |
| OA |
| kλ |
| 1+λ |
| OB |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| 1 |
| 3 |
| OB |
| 1 |
| h |
| 1 |
| k |
解答：解：（1）∵A（-1，2），B（2，8），
∴
=（3，6），可得
=
=（1，2），
=-
=（-2，-4），
∴
=
+
=(-1，-2)，可得
=-
=（1，2）．
（2）证明：∵OM是△OAB的中线，G为重心，O、G、M三点共线，
∴
=
+
，得
=
=
+
，
设
=λ
，则
-
=λ(
-
)，
化简得
=
+
，
因此
+
=
+
，
又∵
=h
，
=k
，
∴
（h
）+
（k
）=
+
．
∵向量
、
是不共线的向量，
∴由平面向量基本定理，得
=
=
，可得
，消去λ得
+
=3（常数）．
∴
| AB |
| AC |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| DA |
| 2 |
| 3 |
| AB |
∴
| DC |
| DA |
| AC |
| CD |
| DC |
（2）证明：∵OM是△OAB的中线，G为重心，O、G、M三点共线，
∴
| OM |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| 1 |
| 2 |
| OB |
| OG |
| 2 |
| 3 |
| OM |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| 1 |
| 3 |
| OB |
设
| PG |
| GQ |
| OG |
| OP |
| OQ |
| OG |
化简得
| OG |
| 1 |
| 1+λ |
| OP |
| λ |
| 1+λ |
| OQ |
因此
| 1 |
| 1+λ |
| OP |
| λ |
| 1+λ |
| OQ |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| 1 |
| 3 |
| OB |
又∵
| OP |
| OA |
| OQ |
| OB |
∴
| 1 |
| 1+λ |
| OA |
| λ |
| 1+λ |
| OB |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| 1 |
| 3 |
| OB |
∵向量
| OA |
| OB |
∴由平面向量基本定理，得
| h |
| 1+λ |
| kλ |
| 1+λ |
| 1 |
| 3 |
|
| 1 |
| h |
| 1 |
| k |
点评：本题考查了平面向量的坐标运算法则、三角形重心的性质和平面向量基本定理及其应用等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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>1对满足|a|＜1，|b|＜1的一切实数a，b恒成立．
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