Question

【题目】(2015·湖南)设,且，证明
（1）
（2）与不可能同时成立

Answer 1

【答案】
（1）

由a>0,b>0,

则,

由于，则,

即有,

当且仅当取得等号，

则

（2）

假设与同时成立，

由及可得

由及可得

这与矛盾

所以与不可能同时成立

【解析】（1）将已知条件中的式子可等价变形为，再由基本不等式即可得证详见解答（1）（2）利用反证发，假设与同时成立，可求得，从而与矛盾，即可得证，详见解答（2）
本题主要考查了不等式的证明与反证法等知识点，属于中档题，第一小问需将条件中的式子作等价变形，再利用基本不等式即可求解，第二小问从问题不可能同时成立，可以考虑采用反证法证明，否定结论，从而推出矛盾，反证法作为一个相对冷门的数学方法，在后续复习时亦应予以关注.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用基本不等式和反证法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：；从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．