题目内容
15.一种计算装置,有一数据入口A和一个运算出口B,按照某种运算程序:①当从A口输入自然数1时,从B口得到$\frac{1}{3}$,记为$f(1)=\frac{1}{3}$;
②当从A口输入自然数n(n≥2)时,在B口得到的结果f(n)是前一个结果f(n-1)的$\frac{{2({n-1})-1}}{{2({n-1})+3}}$倍.
(1)当从A口分别输入自然数2,3,4 时,从B口分别得到什么数?并求f(n)的表达式;
(2)记Sn为数列{f(n)}的前n项的和.当从B口得到16112195的倒数时,求此时对应的Sn的值.
分析 (1)根据f(n)=$\frac{2n-3}{2n+1}$f(n-1),依次计算f(2),f(3),f(4),根据规律猜想f(n),利用数学归纳法证明;
(2)令f(n)=$\frac{1}{16112195}$,计算n,使用列项法求出Sn.
解答 解:(1)由题意得f(n)=$\frac{2n-3}{2n+1}$f(n-1),f(1)=$\frac{1}{3}$,
∴f(2)=$\frac{1}{5}$f(1)=$\frac{1}{15}$,
f(3)=$\frac{3}{7}$f(2)=$\frac{1}{35}$,
f(4)=$\frac{5}{9}$f(3)=$\frac{1}{63}$.
猜测:f(n)=$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$.
显然n=1时,猜想成立,
假设n=k时,猜想成立,即f(k)=$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$,
则n=k+1时,f(k+1)=$\frac{2k-1}{2k+3}$f(k)=$\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$=$\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}$,
∴当n=k+1时,猜想成立,
∴f(n)=$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$.
(2)令f(n)=$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$=$\frac{1}{16112195}$得4n2=16112196,∴n=2007,
∴Sn=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2007)=$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{4013×4015}$
=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{3}$)+$\frac{1}{2}$($\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$)+…+$\frac{1}{2}$($\frac{1}{4013}$-$\frac{1}{4015}$)
=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+…$\frac{1}{4013}$-$\frac{1}{4015}$)
=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{4015}$)=$\frac{2007}{4015}$.
点评 本题考查了数列通项公式的求法,数列求和,属于中档题.
| A. | 30° | B. | 60° | C. | 60°或120° | D. | 30°或150° |
| A. | B. | C. | D. |