Question

函数，过曲线上的点的切线方程为.
（1）若在时有极值，求的表达式；
（2）在（1）的条件下，求在[-3,1]上的最大值；
（3）若函数在区间[-2,1]上单调递增，求实数b的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）13；（3）.

试题分析：（1）题目条件给出了关于的两组关系，第一问中又给出了一组关系，所以在第一问很容易就能将表达式求出；（2）我们求解无参函数在定区间上的最大值，只需求导看在上的单调性，然后找到极小值就是最小值，最大值通过比较端点值即可判断出；（3）考查函数单调性的问题，我们可以将其转化为不等式恒成立问题，转化之后的不等式是比较常见的二次不等式恒成立，一般碰到这种问题我们采取分离参数的方法将参数分到一边，求出另一边的最值即可，另一边的函数是常见的对勾函数，在这里区间给的比较好，可以让我们用基本不等式解出最大值，然后参数大于最大值即可.
试题解析：（1）由得，过上点的切线方
程为，即.而过上点的切
线方程为，故即 ,∵在处有极值，，
∴，联立解得.∴.
，令得或，列下表：

		递增	极大值	递减	极小值	递增

 因此，的极大值为，极小值为又∵，∴在上的最大值为13.
（3）在上单调递增，又，由（1）知，∴，依题意在上恒有，即即在上恒成立.当时恒成立；当时，，此时，而（∵）当且仅当时取等号，∴，要使恒成立，只要.