Question

（本题12分）在直角梯形PBCD中，，A为PD的中点，如下左图。将沿AB折到的位置，使，点E在SD上，且，如下图。

（1）求证：平面ABCD；

（2）求二面角E—AC—D的正切值．

 

Answer 1

【答案】

（1）证明思路，为正方形，，，

因为，ABBC，所以BC平面SAB，推出SA平面ABCD，

（2）

【解析】

试题分析：（1）证明：在图中，由题意可知，

为正方形，所以在图中，，

四边形ABCD是边长为2的正方形，

因为，ABBC，

所以BC平面SAB，

又平面SAB，所以BCSA，又SAAB，

所以SA平面ABCD，

（2）解法一： 在AD上取一点O，使，连接EO。

因为，所以EO//SA

所以EO平面ABCD，过O作OHAC交AC于H，连接EH，

则AC平面EOH，所以ACEH。

所以为二面角E—AC—D的平面角，

在中，

，即二面角E—AC—D的正切值为

解法二：如图，以A为原点建立直角坐标系，

 

易知平面ACD的法向为

设平面EAC的法向量为

 

由，所以，可取

所以

所以

所以,即二面角E—AC—D的正切值为

考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，角的计算。

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程。本题解答利用两种解法作答，各有所长。