Question

(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分,第3小题满分2分. 
设直线交椭圆于两点，交直线于点．
（1）若为的中点，求证:；
（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；
（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．

Answer 1

（1）设， 
 ，
又
（2）逆命题：设直线交椭圆于两点，交直线于点．若，则为的中点．
证明：由方程组
因为直线交椭圆于两点，
所以，即，设、、
则 ， 
又因为，所以
，故E为CD的中点．
（3）为中点的充要条件是．

试题分析：（1）解法一：设
 
 ，
又
解法二（点差法）：设
，
两式相减得
即 

 
（2）逆命题：设直线交椭圆于两点，交直线于点．若，则为的中点．
证法一：由方程组
因为直线交椭圆于两点，
所以，即，设、、
则 ， 
又因为，所以
，故E为CD的中点．
证法二：设
则，
两式相减得
即 
又，即

得，即为的中点．
（3）设直线交双曲线于两点，交直线于点．则为中点的充要条件是．
点评：求过定点的圆锥曲线的中点弦问题，通常有下面两种方法：（1）点差法，即设出弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，从而求出直线方程．（2）联立法，即将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理与判别式求解．