Question

13．已知可行域$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{x-y+\sqrt{2}≥0}\\{x+y-\sqrt{2}≤0}\end{array}\right.$的外接圆C与x轴交于A₁、A₂点，M（1，0）．
（1）求圆C的方程；
（2）设P点是圆C上异于A₁、A₂的动点，过O作直线PM的垂线交L：x=2于Q点，判断直线PQ与圆C的位置关系并证明．

Answer 1

分析 （1）由题意可知，可行域是以A₁、A₂，M为顶点的三角形．因为kA1M•kA2M=-1，所以A1M⊥A2M，所以△A₁A₂M为直角三角形，外接圆C₁的方程为x²+y²=2．
（2）设P（x0，y0）（　　），则y02=2-x02，当x₀=1时，OP⊥PQ，直线PQ与圆C₁相切．当x0≠1时，kPF=，kOQ=-．当x₀=0时，OP⊥PQ．当x0≠0时，kOP=，OP⊥PQ．综上，当x0≠±时，故直线PQ始终与圆C₁相切

解答 解：（1）由题意可知，易得可行域如，是以A₁（-$\sqrt{2}$，0），A₂（$\sqrt{2}$，0）及点B（$\sqrt{2}$，0）为顶点的三角形（1分
因为k${\;}_{{A}_{1}B}$•k${\;}_{{A}_{2}B}$=-1，所以A₁B⊥A₂B，
∴△A₁A₂B为直角三角形
∴外接圆C₁是以原点O为圆心，线段|A₁A₂|=2$\sqrt{2}$为直径的圆，
故其方程为x²+y²=2（3分）
（2）设P（$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），Q（2，y），所以$\overrightarrow{PM}$=（1-$\sqrt{2}$cosθ，-$\sqrt{2}$sinθ），则$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{OQ}$=0，则2$\sqrt{2}$cosθ-2+$\sqrt{2}$ysinθ=0，
则$\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{PQ}$=（-$\sqrt{2}$cos$θ，-\sqrt{2}$sinθ）•（2-$\sqrt{2}$cosθ，y-$\sqrt{2}$sinθ）=-2$\sqrt{2}$cosθ+2cos²θ-$\sqrt{2}$ysinθ+2sin²θ=2-2$\sqrt{2}$cosθ-$\sqrt{2}$ysinθ=0，
所以$\overrightarrow{PO}⊥\overrightarrow{PQ}$，
故PQ与圆相切．

点评 本题考查了平面区域、曲线方程以及直线与圆位置关系的判断；利用向量的数量积为0，判断直线垂直是常用的方法．