Question

3．若函数f（x）=e${\;}^{-（x-m）^{2}}$（e为自然对数的底数）的最大值为m，则函数f（x）的单调递增区间是（-∞，1）．

Answer 1

分析 令t=-（x-m）²，则原函数化为g（t）=e^t，由复合函数的单调性可得原函数的增区间为（-∞，m），减区间为（m，+∞），即x=m时函数取得最大值m，由此求得m=1，
则函数f（x）的单调递增区间可求．

解答 解：令t=-（x-m）²，
则原函数化为g（t）=e^t，
内函数t=-（x-m）²在（-∞，m）上为增函数，在（m，+∞）上为减函数，
又外函数g（t）=e^t为增函数，
∴原函数的增区间为（-∞，m），减区间为（m，+∞），
∴当x=m时函数有最大值m=e⁰=1．
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，1）．
故答案为：（-∞，1）．

点评 本题考查复合函数的单调性，复合的两个函数同增则增，同减则减，一增一减则减，注意对数函数的定义域是求解的前提，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．