Question

已知函数f（x）=x²-2|x|-1（-3≤x≤3）．
（1）证明函数f（x）是偶函数；
（2）画出这个函数的图象；
（3）根据函数的图象，指出函数f（x）的单调区间，并说出在各个区间上f（x）的单调性；
（4）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根据函数奇偶性的定义证明函数f（x）是偶函数；
（2）利用二次函数的图象和性质画出这个函数的图象；
（3）根据函数的图象，确定函数f（x）的单调区间，并说出在各个区间上f（x）的单调性；
（4）根据函数的图象和单调性求出函数f（x）的值域．

解答：解：（1）∵函数f（x）的定义域为[-3，3]，
∴定义域关于原点对称，
又f（-x）=（-x）²-2|-x|-1=x²-2|x|-1=f（x），
∴函数f（x）是偶函数．
（2）对应的图象为：
（3）由图象可知，函数f（x）的单调区间为[-3，-1]，[-1，0]，[0，1]，[1，3]．
其中递增区间为[-1，0]，[1，3]．，递减区间为[-3，-1]，[0，1]．
（4）当0≤x≤3时，f（x）=（x-1）²-2的最小值且f（1）=-2，最大值为f（3）=2．
当-3≤x≤0时，f（x）=（x+1）²-2的最小值且f（-1）=-2，最大值为f（-3）=2．
故函数f（x）的值域是[-2，2]．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，分类利用函数奇偶性的定义以及二次函数的图象和性质是解决本题的关键．