Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.

(Ⅰ)求证：PB⊥DM;
(Ⅱ)求CD与平面ADMN所成的角

Answer 1

（I）见解析.（II）.

本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力．
（I）欲证PB⊥DM，可先证PB⊥平面ADMN，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证PB与平面ADMN内两相交直线垂直，而AN⊥PB，AD⊥PB，满足定理条件；
（II）取AD的中点G，连接BG、NG，得到 BG∥CD，从而BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等，根据线面所成角的定义可知∠BGN是BG与平面ADMN所成的角，在Rt△BGN中求出此角的正弦值即可．
解：（I）因为是的中点，，所以.
因为平面，所以，从而平面.
因为平面，所以.
（II）取的中点，连结、，则，
所以与平面所成的角和与平面所成的角相等.
因为平面，所以是与平面所成的角.
在中，.
故与平面所成的角是.